一个数学家的辩白（下）

（续上）
§19

我 现在必须回到我的小津讲演上，对在§6小尚未谈及的问题作一些说明。从以上论述中者可以看到，我只对把数学当作一种创造性艺术感兴趣，但有很多问题还值得 考虑，尤其是数学的“实用性”，它曾引起许多争议。此外还有必要检查一下数学是否真如我在牛津演讲中提到的那样“百利而无一害”， 如果科学或艺术的发展能增加资源、方便人类，或增加人们情感上的愉悦，那么我们就可以认为它们是“有用”的。医学和生理学能减轻病痛，所以是有用的；工程 设计能建筑高楼、桥梁，从而提高生活水平(当然工程设计也会带来害处，但此处暂不涉及)，所以也是有用的。依此来看，数学也必然是有用的，工程师如没有数 学基础是无法进行工程设计的，数学也正开始运用于生理学中。因此我们有为数学作辩护的依据，虽说并不完备，但值得去钻研。数学应用的更高层次，即运用于各 种创造性艺术中，将与我们的研究无关。数学如同诗歌、音乐一样，能训练并陶冶人的性情，所以对数学家或数学爱好者来说，沉迷于其中，其乐也融融。不过，如 从这方面去论证数学的用处，只不过是更为详尽地重复我的老话，而现在要考虑的应是数学的原始的应用。


§20

这 一切似乎是不言而喻的，但就这样也有不少争议，因为大多数“有用”的学科对我们中的多数人来说往往是学而无用的。生理学家和工程师对社会功用不小，但对常 人来说，生理学和工程学并无多大用处(尽管他们的学习也许会基于其他原因)，就我自己来说，我从未发现我拥有的纯数学之外的科学知识给我带来过些微的益 处。

事实上我们不得不诧异，科学知识给普通人带来的实用价值是如此之小，如此乏味，而且毫无特色，其价值似乎与其在外的功 用名声成反比。如果在简单的算术上反应快，是会很有用的；懂一点法语、德语，懂一点历史、地理或经济学知识也会是有用的；但仅懂一点化学、物理或生理学， 在日常生活中却毫无用处。不用知道气体的组成我们便可以知道它会燃烧；汽车坏了我们自然送到修车厂去；胃不舒服会去看医生或去药店买药。我们的生活要么自 有其规律操纵，要么需要各行各业人的帮助。

然而，这只是枝节问题，一个教育的问题，只有教师们对它感兴趣，因为他们必须说 服那些为自己孩子的“有用的”教育而喋喋不休的父母们。当然，我们说生理学有用，并非鼓吹大多数人去学习生理学，但如有一定数量的专家致力于生理学的发 展、研究，将会使绝大多数人受益。重要的问题是，数学的有用性究竟能延及多远？哪些数学领域有用性最强？怎样才能仅仅以这种“有用性”为理由，来为认真的 数学研究，即数学家们所理解的数学研究进行辩护？


⑦见《原本》第九章第二十节。很多定理的真正作者在《原本》中未注明，但似乎没有特别的理由否认这是欧几里得自己发现的定理。
⑧证明也可以不用归谬法，一些学校的逻辑学家则更钟爱归谬法。
⑨传统上这一证明归功于毕达哥拉斯，但可以肯定这是他的学派的一个成果。欧几里得提出这个定理时，其形式更一般(《原本》第十章第九节)。
⑩欧几里得，《原本》，第一章第四十七节。
㈠见哈代和赖特的《数的理论导引》(Introduction to Theory of Numbers)第四章，那里讨论了毕达哥拉斯定理的不同的推广形式，以及有关泰特托斯的历史悬案。
㈡第11版，1939(H·S·M·柯斯特修订)。
㈢《科学与现代世界》，33页。
㈣《科学与现代世界》，44页。
㈤《科学与现代世界》，46页。
㈥据推论宇宙的质子数大约为 10的80次方 。如果将 10的10次方的10次方 写出来，将占据50 000本一般篇幅的书。
㈦我在§14中已提到过，小于1 000 000 000的素数数量是50 847 478个，但这只是我们确实所知的范围。
㈧我相信，如果所考虑的问题中，一个类型有形形色色的变化，那么列举证明现在也认为有其价值。


§21

我 将作出的结论到这里似乎是显而易见的了，所以我先武断地将它表述出来，再对之详述。不可否认，初等数学中的很大一部分――我用的“初等”一词是职业数学家 使用的那种意思，它包括诸如有关微积分等应用知识――是具有一定使用价值的。数学中的这些部分整体来说是比较枯燥的，它们是最乏美学价值的部分。“真正” 的数学家所研究的“真正”的数学，如费马、欧拉、高斯和阿贝尔所研究的数学，几乎是完全“无用”的。(这一点对“实用”数学和“纯”数学来说都是如此。) 以“实用性”为标尺来衡量一个天才数学家的工作是不可能的。

但是这里我要纠正一个错误概念。有人认为纯数学家以其工作的无用 性为荣㈨，并宣称他们的工作没有实际应用价值。这种念头是基于高斯的一句不谨慎的话，其大意是：如果数学是科学中的皇后，那么数论由于其极端无用性而成为 数学中的皇后――我从没能找到这话的确切引用。我敢肯定高斯的原话(如果真的是他说的)被很粗鲁地曲解了。如果数论能够被应用于任何实用的、显赫的目的， 如果它能像物理甚至化学那样直接增加人类的欢乐和减少人类的痛苦，那么高斯或其他数学家决不会愚蠢到为这种应用哀叹或后悔。但是科学可为善服务，也可为恶 助纣(特别是在战争时期)，这样高斯和另一些数学家就应该庆幸有一种科学，就是他们的科学，由于其远离人类日常的活动而保留了其纯洁性。

§22

还有一个错误概念需要反驳。人们很自然地认为“纯数学”和“应用数学”的实用性有很大差别，这是一个假象：这两种数学之间有很大的差别(这一点我将在下面详述)，但并没对它们的实用性有很大影响。

纯数学和应用数学的区别在哪里？对于这个问题数学界有统一而明确的答案，在我的答案中丝毫没有有悖于正规的说法，但有一些需要事先阐明。

下面的两节可能带有一些哲学味，但不会很深，且对我的论点也不是必不可少的。但我在叙述中将常用到一些词，这些词有明显的哲学含义，如果我不解释为什么及怎么用这些词的话，读者也许会感到困惑的。

我经常用到“真正的”这个形容词，就像日常生活中用到它一样。我说到过“真正的数学”、“真正的数学家”，就像我会说“真正的诗”和“真正的诗人”一样，而且会继续这么用它。但我将会用到另一个词“实在”(reality)，它却有两个含义。

首先，我将谈到“物理实在”，这里我用的是一般意义上的词义。对于物理实在我指的是物质世界，昼与夜，地震和日食，也就是物理科学所描绘的世界。

我 敢说直到现在，没有读者会对我的语言感到困难，但我马上要进入困难的领域了。有另一种实在性，我把它叫做“数学实在”，对于它的本质在数学界和哲学界都没 有统一的认识。一些人认为它是“精神”的，某种意义上我们构造了它；另一些人则认为它是外在的，独立于我们。一个人如果能对数学实在给出一个令人信服的解 释，他将可以解决形而上学中大多数难题。如果他的解释中也包括了物理实在，这些难题就都解决了。

即使我有这个能力，我也不愿在 这里讨论这个问题。但为了避免小误解，我还是要申明一下我的立场。我相信数学实在存在于我们之外，我们的任务是去发现或观察它，并且，我们所证明的定理， 我们夸耀称之为“创造物”的，只不过是我们观察记录而已。自柏拉图以来很多享有盛誉的哲学家都持有此观点，虽然形式各异。我采用的语言对持有这种看法的人 来说是很自然的，读者若不喜欢这种哲学概念可改变这种语言，这对我的结论影响甚微。

§23

纯数学 和应用数学间最大的差异也许表现在几何学方面。纯几何学㈩包括很多分支，如射影几何、欧几里得几何、非欧几何，等等。每一种几何都是一种模型，即概念构成 的造型，应该按照各个独特造型的意义和美加以鉴别。几何是一幅图像，是很多方面的合成品，也是数学实在的一部分，并且是一个不完全的复本(然而，在其范围 内又是准确的复本)。但是现在对我们最重要的一点是：纯几何学无论如何也不能描写物理世界的时空实体，因为地震和日食不是数学概念。

这些话对于外行来说可能有点矛盾，但对于一个几何学家来说则是真理，我可以举一个形象的例子来加以说明。假如我作一个有关几何学的讲座，例如普通的欧几 里得几何，我会在黑板上画一些图形，一些直线、圆或椭圆的草图来激发听众的想象。显然，我画图的质量不会对我所证明的定理有什么影响，图形的作用只是将我 的意思明白地传达给听众，如果我已做到这一点，那么让技巧高超的画师来重画一遍是毫无必要的，它们只是辅助教学的工具，不是讲座的实质内容。

让 我们再进一步。我讲课的教室是物理世界的一部分，有其固定的形状。对于这种形状以及对于物理世界的一般形状的研究本身就是科学，可称之为“物理几何”。假 设现在有一个高功率的发电机，或一个巨大的引力体搬进教室，物理学家就会告诉我们教室的几何结构已改变，它的整个物理造型已经轻微但确实被改变了。那么我 所证明的定理是否也变得错误了？我的求证当然是没受影响的，这就像莎翁的剧作不会由于读者不小心将茶泼在某一页上而改变一样。剧本是独立于所印刷的纸张 的，“纯几何”也是独立于教室或物理世界的其他部分的。

这是纯数学家的观点。应用数学家、数学物理学家自然是另一种看法，因为 物理世界(含有其结构和形状)已经在他脑中先人为主了，对于这种形状我们不能像描述纯几何学那样确且描绘，但是我们能说出几点名堂来。我们可以精确或粗略 地描绘出它的组成部分之间的关系，并把这种关系与某些纯几何体系的组成间精确的关系作一个比较，这样我们也许可以找出两种关系间的相似之处，那么我们面前 就会有一幅“符合物理世界的事实”的图来。几何学家给物理学家提供了一整套可供选择的图形，这当中可能某一幅图比其他的更符合事实，于是提供这幅图的几何 学就成了应用数学家最重要的几何学。我可以补充一句，即使是纯数学家也会对这种几何学更加欣赏，因为还没有哪个数学家纯到对物理世界毫无兴趣的地步。但 是，一旦他屈服于这种诱惑，他就放弃了他纯数学的立场。

§24

这里自然会使人想起我的另一番议论， 物理学家会觉得它是自相矛盾的，尽管这种自相矛盾比起18年前已轻微得多。我将用我在1922年于英国科学促进协会A组讲演中几乎一样的语言来描述它，那 时我的听众绝大多数是物理学家，为此我的话可能带有一点挑衅的意味，但我还是坚持了我的立场。

我一开始就说数学家和物理学家之 间见解的差异也许并不如一般人认为的那么大。我认为最重要的一点是，数学家与实在的联系更直接一些。这似乎是自相矛盾的，因为正是物理学家们在研究所谓 “实在”的那些客体，但人们稍加思索就能说明：物理实在，不管它是什么，很少或没有一般意义上被本能地赋予实在的属性。一把椅子也许是一堆旋转电子的集合 体，也许是上帝脑海中的一个想法，这两种描述都有可取之处，但没有一种是与通常意义下的实在完全相符。

我接着说道，无论物理学 家还是哲学家都未曾对“物质实在”作出有说服力的解释，也没有解释物理学家如何从大量混乱的事实或感觉开始来建造他所称的“实在”的物体结构的。我们并不 能说我们知道物理的研究题材是什么，但这并不妨碍我们大致理解一个物理学家想干什么：他想用一些确定的、有序的抽象关系系统，来将他面临的原始的、无条理 的事实现象重新联系起来，而这种系统他只能从数学家那里获得。

另一方面，数学家也在研究他自己的数学实在，对这种“实在”，正 如我在§22节中所说，我持“实在论”而非“唯心论”观点。在任何情况下(这是我主要的观点)这种数学的实在论观点比物理实在似乎更合理一些，因为数学的 客体更接近他们所被看到的。一把椅子或一颗星星一点都不像它们看起来的那样，我们对之想得越多，感觉的迷雾就越会使它的轮廓模糊不清。但是“2”和 “317”与感觉无关，我们观察得越仔细，它们的性质就越清晰。也许现代物理学最适合于唯心主义哲学框架――我不相信这一点，但有些著名的物理学家是这么 说的。纯数学在我看来倒是唯心主义的绊脚石：317是个素数，并不因为我们是这样认为，或是我们的思想是以某种特定的方式形成，而是因为它原本如此（“原 本如此”有着重号），因为数学实在就是这样建立的。


§25

纯数学和应用数学的这些差异对它们本身很重要，但与我们关于数学“实用性”的讨论毫无关系。我§21中曾谈到过费马和其他一些伟大的数学家的“真正的”数 学，具有永恒美学价值的数学，如最好的希腊数学。它们之所以永恒，是因为其中的精华就像文学中的精英部分，在几千年后还能引起千万人强烈的满足感。这些数 学家基本上都是纯数学家(当然那时候两者的差异要比现在小得多)，但我考虑的不仅是纯数学方面。我把麦克斯韦、爱因斯坦,《Eddington》和迪拉克 都算在“真正的”数学家之列。现在应用数学最伟大的成就就是相对论和量子力学，而这些领域现在无论在哪方面都几乎像数论一样是“无用”的，在应用数学中像 在纯数学中一样，或多或少地有用的恰恰是其中最令人乏味的和最基本的部分。时间会改变这一切。无人预见到矩阵、集合论和其他纯数学理论在现代物理学中的应 用，也许一些“高雅”的应用数学会以“想不到”的方式变得“有用”，但是迄今为止，无论在哪一学科，实际生命是由平凡和枯燥组成的。

我 还记得 ６ 顿举的一个有关“有用”的科学不吸引人的有趣例子。英国科学促进协会在利兹举办过一个会议，举办者以为会员们可能会想听一些科学在“厚毛纺”工业方面的应 用，但出于这个目的的讲座和展示都彻底失败了。看起来与会者(无论是否利兹居民)都想得到娱乐，但“厚毛纺”完全不是一个有趣的话题。这些讲座参加者寥寥 无几，而有关相对论或素数的理论却受到了听众的欢迎。

§26

数学中的哪些部分是有用的？

首先，中小学里大部分数学是有用的，如算术、初等代数、初等欧氏几何、初等微积分计算。但“专家”所学的一部分数学应排除在外，如投影几何。在应用数学中，力学基础是有用的(中学所教的电学应归于物理学)。

其 次，大学数学中相当一部分是有用的，它大部分实际上是中学数学更完备的发展，一部分物理化的学科如电学和流体力学也是有用的。同时我们必须认识到知识的储 备总是好事情，最实际的数学家的知识如果仅限于对他有用的那一点点的话，可能会遇到严重障碍，因此我们各方面都应懂一些。但我们总的结论是，这种数学只是 当一个高级工程师或一个现代物理学家需要时才会有用，也就是说，这些数学没有特别的美学价值。欧几里得几何中那些死板乏味的部分是有用的――我们并不想要 平行公理，或比例理论，或正五边形的构造。

于是我们得到一个很有趣的结论，就是纯数学整体上明显比应用数学有用。纯数学家似乎在实用方面和美学方面都占优势。最有用的是技术。而数学技术主要是通过纯数学来传播的。

我 希望我不需要表白我不是在贬低数学物理，它是一门辉煌的、也有许多问题的学科，充满了最棒的想象。但一个普通的应用数学家的处境不是有点可怜吗？如果他想 “有用”些，他就不得不单调乏味地工作，也不能够给他的想象力以充裕的空间。“想象”的宇宙比这个构造拙劣的现实世界美丽得多，而且一个应用数学家的想象 力创造出的最精美的产品往往一出来就被否定了，理由粗鲁而充分：它们不符合事实。

总结论已经明白无误了。如果我们暂时同意 说，有用的知识就是现在或不远的将来对人类的物质享受有贡献的知识，而与纯粹的智力满足无关，那么高等数学的大部分就都是无用的了。现代几何、现代代数、 数论、集合论、函数论、相对论、量子力学――没有一样能达到这个标准，也没有一个数学家的价值可以以此标准衡量。如果以此为标准，那么阿贝尔、黎曼、庞加 莱都虚度此生，他们对人类享乐毫无建树，没有他们地球依然是个乐园。

§27

也许有人反对说我关于 “用处”的概念太狭窄，我只将其定义为“快乐”和“舒适”，而忽略其“社会”效应，而后者是近年来一些作者抱着各不相同的观感都非常强调的问题。如怀特海 说到“数学知识在人们生活中，在日常工作中，在社会组织中的巨大作用”，霍格本(他对我和其他数学家所说的数学是无动于衷的，不像怀特海那样心领神会) 说：“如果没有数学这种大小和次序的规则，我们就不可能建造一个充满快乐、无人受穷挨饿的合理社会。”

我买在不能相信这种辫辞 会给数学家们带来多大的安慰。这两位作者的语言都过于夸大其词了，而且，他们俩也都忽视了非常明显的区别。由于霍格本被公认不是一名数学家，所以上述情况 对他是很自然的。他指的“数学”，实质上是他所理解的数学，我们将这种数学称之为“中学”数学。这种数学有许多用处，我承认这些用处，而且，如果我们高兴 的话，也可以称之为数学的“社会性”。霍格本将许多令人感兴趣的魅力用于数学发现的历史。正是这一点使这本书获得声望。因为正是这本书才使霍格本帮助了许 多从来不是，而且将来也不会成为数学家的人。读者搞明白了数学中还有他们未曾料到的东西。但是，霍格本对于“真正”的数学几乎一窍不通(这一点凡是阅读过 霍格本对毕达哥拉斯的定理，或欧几里德以及因斯坦的有关论述的任何人也能马上这么说)，更不用说什么心领神会了(这一点他不辞劳苦地要表现)。“真正的” 数学对他来说仅仅是一个让人瞧不起的科目。

数学家怀特海的问题倒不是他不了解或不赞同这一有关数学的概念，但是在他对数学的狂 热中却忽略了他所十分了解的那些特征。那种对“人们的日常爱好”和“社会体制”有巨大影响的不是怀特海的数学，而是霍格本的数学。而由一般人用于平常事物 的数学是微不足道的，经济学家或社会学家们所利用的数学根本够不上“学术水准”。怀特海的数学也许深深影响了天文学和物理学，而且对哲学的影响也是相当可 观的(一种有价值的思想总会影响另一种有价值的思想)。然而对于别的东西几乎没什么影响了。这种巨大影响一般并不是对普通人而言，而是对像怀特海本人那样 的人而言的。

§28

有两类数学，即真正数学家的数学和我将称之为“不重要的”数学。我之所以这样称 谓，是没有比这更合适的词了。这种不重要的数学由推崇它的霍格本及其学派中的其他作者提出许多论据加以辩护。而真正的数学却得不到这样的辩护，而且，对这 样的数学要是能够给予辩护的话，也是被当作一门艺术来加以辩护的。这种观点丝毫没什么荒谬或不寻常，因为它是数学家们所普遍认同的。

但 是我们仍有另外一个问题要考虑。我们已得出结论，那就是，大体说来，不重要的数学是有用的，而真正的数学基本上不是有用的；从某种意义上来说，不重要的数 学的确“有益”，而真正的数学却不然。但是，我们仍需问：是否两种数学中有一种有害？如果认为任何一种数学在和平时期有许多危害，这也许是令人感到不合情 理，所以我们不得不考虑数学对战争的影响，现在，辩论这些问题很难不带偏见，所以我本不想谈的，然而，有些讨论看来是在所难免的，幸而这种讨论没必要搞很 长时间。

有一个令人欣慰的结论让一个真正的数学家坦然，那就是，真正的数学对战争没有影响。迄今尚未有人发现数论或相对论 用于任何战争目的，而且看来今后许多年也不大可能有这种情况。确实，应用数学有许多分支。例如弹道学和空气动力学。这类学科是因为战争而特发展起来的，它 们需要相当精密的技术，也许这样一来，就很难将它们视为“不重要的”数学，但它们全都不可能拥有“真正的”数学那样的头衔。它们令人厌恶，而且极其枯燥， 即使是利特伍德也不可能使弹道学成为让人崇敬的学科，别人就更无能为力了。因此，一个真正的数学家是问心无愧的；他的工作的价值是无可非议的。正如我在牛 津大学曾讲述的那样，数学研究是一个“无害而清白的”职业。

在另一方面，不重要的数学在现代战争中有许多应用。例如：枪支专家和飞机设计师在工作中是离不开数学的。而这些应用所产生的一般影响是清清楚楚的。数学(假如不像物理和化学那样明显)对现代化、科学化的战争起了推波助澜的作用。

由 于对现代化、科学化战争存在着两种截然相反的观点，数学的作用并不像人们想象的那么简单。首要的也是最明显的观点是，科学对战争的影响是：它加剧了战争的 恐怖性。从前只有少数参战的人会领略到战争所带来的痛苦，而现在这种痛苦殃及其他的群体。而霍尔丹却在他的著作《化学战争的防御》⑴中阐述了另外一种截然 相反而又无懈可击的观点。他认为现代战争不像科学发展以前时代的战争那样恐怖。他认为原子弹可能比刺刀更仁慈，催泪瓦斯和芥子气也许是军事科学所设计出的 最人道的武器。他还认为：传统的看法只是缺乏深思熟虑的“感情用事”⑵而已。还应强调，由科学所带来的风险的平等性可能体现在长远的利益中，也就是说一个 文官的生命与一名土兵的生命是等价的，女人与男人的生命也是等价的。什么都比将凶残行为集中到一个特殊群体要好。总之，战争全面展开得越快越好。

我并不清楚以上的观点中哪一个更接近于真理，这是一个急需解决而又令人兴奋的问题。但我没有必要在这里来阐明，这一问题只与“不重要的”数学有联系，捍卫它是霍格本的事，而不是我的事。这个问题对霍格本的数学也可能是点麻烦，而对我的情况却毫无影响。

实 际上，不管怎么说，因为真正的数学在战争中总有用武之地，所以还有更多情况要阐述。当世界疯狂时，一个数学家可以在数学中发现一种无与伦比的镇定剂。在所 有的艺术和科学之中，数学是最严肃而且也是最细微的。同时，数学家在所有的人里应该是最容易超脱于人世的。正如罗素曾说过的那样：“至少一种冲动与不安可 以从沉闷而乏味的现实中得以解脱。”很遗憾，这里必须提出一个非常严格的限制条件――这样一位数学家一定不能太老了。因为数学是一种创造性学科而不是默想 的学科。没有任何人在他失去能力或者不再有创造愿望时还可以从数学这一学科中获得慰藉。而这种失去能力与创造愿望的情况可能会很快地在一个数学家身上发 生。这是很可悲的，但在这种情况下，他也就不是什么重要的角色了，也用不着为他操心了。

§29

在这里我愿意用更具个性的方式来概括我的结论。开始我就说过，任何一个为自己的主张辩护的人都会发现他是在为自己辩护。因此作为一名职业数学家，我自然也是在为自己作某种辩护，而这一结论部分可称为我的自传的一部分。

我 从不记得除了曾经想成为一名数学家以外，还想做什么。很显然，我的才能是在这一方面的。而且我的父母也从不怀疑我在这方面的天赋。我不记得在孩提时代对数 学有过强烈的爱好，这种数学家的素质我也许具备，但我并不觉得十分惊人。我对数学的兴趣是基于应付考试和争取奖学金的需要，我必须战胜其他同学!这似乎成 了我决策的动力。

我的思想抱负发生急剧变化是在15岁的时候(这种变化方式很特别)。有一本名叫《三一学院成员》的书，作者是 “阿伦·圣·奥宾”⑶，是一套有关剑桥生活丛书中的一本。这本书写得并不好。我认为这本书写得比玛丽·科雷利(Marie Corelli)所写的大部分书都差。但由于它是一本能激起一个聪明男孩想象力的书，所以也算不得一本完全坏的书。书中有两名主人公。第一主人公名叫费劳 尔斯，他几乎是完美的化身。第二主人公布朗，很有些女人气质。费劳尔斯和布朗在大学生活中遇到很多妨碍学习的危险情况，其中最糟糕的是贝伦敦 (Bellenden)姐妹在切斯特顿⑷开设的一家赌场。这对姐妹年轻迷人且又极端邪恶。费劳尔摆脱了所有这些麻烦，成为数学学位考试的第二名和年级第一 名，自然得到了一个奖学金(假如我当时所假设的那样)；而布朗则失败了，辜负了父母的期望，开始酗酒。有一次，在暴雨中他处于醉酒后的狂乱状态，被牧师的 祈祷文拯救出来。他连普通学位都难以拿到，最后成为一名传教士。这些不愉快的事情并没有影响他们间的友谊，当布朗第一次在高级职员休息室喝着葡萄酒、吃着 核桃仁的时候，费劳尔斯对他的行为大惑不解，但却充满着爱怜之情。

现在弗劳尔斯是一个非常正直的研究员(迄今为止“阿伦·圣· 奥宾”所能找到的一个)。然而，就连我这个思想单纯的人也不认为他是聪明人。如果他能作出这些成绩，我为什么不能？给我印象最深的是休息室的最后一幕，它 使我着了迷，从那时起，直到我得到三一学院成员资格为止，对我来说，数学就等同于三一学院成员资格。

进入剑桥大学以后，我立刻 发觉，学位奖学金意味着“创造性的工作”，而我每形成一种确定的研究思想都要花很长时间。像每一个未来数学家一样，我在读中学时，就觉得自己常常可以比老 师做得更好；甚至在剑桥大学时，我也觉得有时能比老师做得更好一些，当然不像在中学叫那么经常罢了。但是，尽管当时我获得了剑桥的荣誉学位，对于我花费很 大精力所研究的学科，我确实是无知的；而且我仍认为从根本上来讲，数学是一门“竞争”的学科。我的眼界最初是由乐甫教授打开的，他只教了我几个学期的课， 却使我对分析的严醛概念有了最初的了解。我从乐甫教授处获益最大的是他建议我读乔丹的著名的《分析教程》 (Cours d’analyse）。我永远也不会忘记这部著作所给予我的震撼，不会忘记那本书对我这一代数学家的激励。读了这部著作我才第一次懂得了数学的真谛；也是 从那时起我走上了一个真正的数学家的道路，对数学树立了正确的目标，对数学有了真正的热情。

在这以后的十年里，我写了大量论 文，但都无足轻重。在我的记忆中，我所满意的只不过四五篇。我的真止的职业危机是在后来的10年或12年出现的。在1911年我与利特伍德开始进行长期的 合作。再是在1913年，我认识了拉曼纽扬。从那时起，我的所有成就便注定与他们不可分割，而且很明显，我与他们的合作是我一牛中有决定意义的事件。当我 失望地却又不得不听那些浮夸而令人厌倦的谈话时，我就会对自己说：“我做了件你们从未曾做过的事．那就是与利特伍德和拉曼纽扬在某种平等条件下的合作。” 与他们相比我显得尤其不成熟。当我成为牛津大学教授时，我处于四十刚出头的最佳时期。但就是从那时起，我的命运每况愈下，这种情况在老年人尤其是老年数学 家当中是常见的。一个数学家也许可以在60岁时依然胜任上作，但不能指望他们产生创造性的思想。

坦率地说，我的有价值的生活已 经结束，而且我小再可能做出什么事来有意识地增加我的生活价值。要沉住气是很困难的，但我认为这是一种“成功”。我已获得了与我的能力相匹配的人所应得到 的奖励。我拥有了一系列令人欣慰而高贵的职位。对于大学里的较为单调乏味的生活，我并不感到烦恼，虽然我讨厌“教书”，但还是从事少量的教学工作，这种工 作几乎完全是在指导我的研究工作。我喜欢演讲，而且曾经为一些出类拔萃的班级做了很多讲座。我始终都有闲暇来进行研究工作，这些研究已成为我一生中永恒的 享受。我感到自己很容易与他人合作，而且已与两个很特殊的数学家进行了多方面的合作，这使我为数学作出的贡献大大超出了我本来的期望。像其他数学家一样， 我也曾遭到许多次失败，但没有哪一次失败是过分严重而令我感到特别沮丧的。假如在我只有20岁时，让我过这种淡泊的生活，我也会毫不犹豫地接受它的。

听 起来也许很可笑，我认为自己可以“做得更好”。我没有语言和艺术方面的才能，而且对于科学实验也不太感兴趣。也许我本来可以成为一个说得过去的哲学家，但 绝不会是那种具有创新头脑的哲学家。我自认为我或许可以成为一名好律师；可新闻业只是一种职业，它不属于哪种学术领域，而我对自己在学术领域的机会是充满 着信心的。所以，如果以人们一般所说的成功来作为评判适合什么职业的标准的话，那么我正适合做一名数学家。

如果我想要的是一种 相当舒适和快乐的生活，那么我的选择就是正确的。但是那些律师、证券经纪人和出版商们常常也过着舒适而愉快的生活。要搞明白更富的人们生存的世界是怎样 的，这是很困难的。那么是否可以说我的生活比他们的生活更有意义呢？对我来说，可能答案是惟一的，那就是：是的。如果答案是惟一的，那么答案的理由也是惟 一的。

我从未做过任何一件“有用的事”。我的新发现未曾，且将来也不大可能为世界增加哪怕是最小限度的舒适感，不论是直接的还 是间接的，也不管是善意的还足恶意的，都做不到这一点。我也曾培训过其他数学家，但这些人与我是同样类型的数学家，他们所做的工作也同我做的工作一样没有 用处。若是以实用的标准来作评判的话，我的数学生命的价值是零；从数学之外看来，我的价值无论如何也是微不足道的。我只有一种机会免被判断为完全微不足 道，那就是人们可能判定我已做出了一些有创造价值的工作．我不否认，我已做了一些创造性的工作，问题是它们的价值怎样。

对于我 的一生，或者说任何一个与我类似的数学家的情况是：我所做的工作扩充了知识，并且帮助他人在这座知识的大厦上添砖加瓦；而这些添加部分与伟大的数学家们的 创新，或任何其他大大小小艺术家们的作品的价值的不同仅仅在于程度而不在于种类。这些数学家和艺术家都在死后留下了某种纪念物。


㈨我曾经因有这种观点而被指责。我有一次曾说“一种科学只有当它强调社会财富的不均衡性，或直接促使人类生活的毁灭，才是有用的”，这句话写于1915年，几次被别人引用(或由于反对我)。这句话显然是有意识的夸大其词，尽管当时就可能言之成理的。
㈩为了讨论的目的，我们必须把数学家所谓的“解析”几何称做纯几何。
⑴J·B·C霍尔丹，Callinicus：化学战争的防御(1924)。
⑵我并不想通过这个滥用的词来揭示这个问题；这个词在描述感情不平衡的特定状态也许会
很有用。当然，许多人都把“感情用事”当作骂人话来错误地指责宽宏大量的情感。而把“
实事求是”当作借口，用来掩饰自己的蛮不讲理。
⑶阿伦·圣·奥宾就是弗朗西丝·马歇尔夫人，马修·马歇尔的妻子。
⑷实际上切斯特顿缺少形象生动的特征。

后 记

布劳德教授和斯诺博士都曾对我说过，假如我能在科学所引发的益处和邪恶之间找到平衡的话，我就不再会为科学对战争的影响而苦恼。这样一来，当我想到数学 影响时，除了想到那些纯粹是毁灭性的影响外，我还必须记住科学还有着许多重要的有益影响。所以(为了写后边这一点)我必须记住：

(a)只有通过科学方法，全人类的战争组织才可能形成；
(b)科学大大加强了战争的宣传威力，这一威力全是用于邪恶的。
(c)科学使“中立”成为不可能或失去意义，因此战争爆发后，不再可能存在充满安宁的“世外桃源”。

当然，所有这些观点都是倾向于反对科学的，另外一方面，即使我们把这种观点最大限度地压缩，也几乎难以支持以下的观点：由科学带来的恶肯定不重于善。比 方说，假如每场战争中有一千万人丧生的话，那么科学的作用仍然是：它可以使人的平均寿命延长。总而言之，我写的§28节，是过于“多愁善感”了。

我并不想反驳这些批评的公正性。但是因为我在序言中所陈述过的那些理由，在我的书中不会再遇到这些批评了，对此我感到满意。

斯诺博士也对§8所谈的内容作了有趣的论证。即使我们承认下述观点：“阿基米德将被人们记得，而埃斯库罗斯却被人们遗忘。”难道我们不觉得数学的声誉是 否仍然太微不足道了?我们仅仅从埃斯库罗斯(当然还有莎士比亚或托尔斯泰)的著作中，可以对作家本人的情况有所了解，然而阿基米德和欧多克斯留给后人的只 是他们的名字而已。

当我们在特拉法尔加广场路过 尔逊将军纪念碑时，J·M·洛马斯(Lomas)先生更加形像地阐述了这一观点，假如真的能把我的雕像塑在伦敦纪念碑上的话，我是希望这座碑高耸入云， 以至于人们见不到雕像了呢，还是希望纪念碑矮得可以使人们对雕像一目了然呢?我会选择前一种，而斯诺博士可能会选择后一种。




英国数学家(G·H·哈代(1877―1947)是本世纪最伟大的“数学思想家”，素数理论的绝对权威。作为数学知识和思想的传授者，哈代也是剑桥大学最受听众欢迎的数学教授。
《一个数学家的辩白》成书于哈代自称“才思枯竭之下只好向旁人讲述数学发明的魅力和乐趣”之际。然而评论家公认该文是“用最优雅的语言对数学真谛最完美的揭示”。
为该文作序者C·P·斯诺博士以《两种文化与科学革命》享誉学术界。他认为科学与文化是相通的，不同的知识领域是完全可以交流的，斯诺笔下的哈代就是一位举止古怪，但在不同领域均有不凡建树的天才。