一个数学家的辩白（上）

假如真的能把我的雕像塑在伦敦纪念碑上的话，我是希望这座碑高耸入云，以至人们见不到雕像呢，还是希望纪念碑矮得可以使人们对雕像一目了然呢？我会选择前一种，而斯诺博士可能会选择后一种。

序 言

我感谢C·D·布劳德(Broad)教授和C·P·斯诺博士对我提出的许多宝贵的批评。他们读过我的初稿。我已将他们提出的所有建议的内容实质差不多都写入了我的书中，同时删除了许多生硬晦涩的词语。
但 是有一种情况我是以不同的方式处理的，那就是§28。这一章节是在我的一篇短文的基础上撰写的。那篇短论文是在年初我投稿到《我发现了》(此杂志是由剑桥 阿基米德协会主办的学术刊物)的。对这篇不久前我曾以非常认真的态度写出的东西加以修改，我的确感到为难。再说，假如真要我设法接受这些批评(即严肃地看 待这些重要的评论)，那我就只得将这章节大大扩展，直至完全破坏这篇论文，使其面目全非。鉴于此，我就没改动它，而是把批评家对我论文所作的评论的要点之 简述以脚注的形式加在文章最后。

G·H·哈代
1940年7月l8日
§1

如果一个数学家发现自己在写关于数学的东西，他会感到很忧伤的。因为数学家的工作是做实事，比如证明新定理，使数学有所发展，而不是谈论自己或别的数学家干了些什么。

政治家蔑视时事评论家；画家蔑视艺术评论家；生理学家、物理学家或数学家一般都有类似的感觉。做事者对评论者的蔑视是最深刻的，总的来看也是最合理的。解释、评论、鉴赏是次等工作。

我曾与豪斯曼(Housman)有过几次认真的交谈，我能记得其中有一次我们争论过上述看法。豪斯曼在他所作的题为《诗歌的名与实》的报告中，曾非常坚决 地否定他是个批评家。而在我看来，他的这种否定方式是异常偏执的。在报告中，他还表达了对文学批评的赞赏态度。这些都令我大惑不解。

在此报告的开头，他引用了22年前在一次演讲中的一段话：
我 不能说文学批评是否为上帝从他的珍宝库中拿出来赐予我们的最好礼物，但是，好像上帝是这样认为的。因为在赠送这一礼物时，上帝的态度肯定是极为审慎、郑重 的。与遍地丛生的草莓相比，演说家和诗人……是稀罕的；但与哈雷彗星的回归相比，他们就平常得多。而文学评论家可就不那么平常了。
接着他写道：在这22年中，我在一些方面取得了进步，而在另一些方面退步了。但是，我的进步还没使我达到成为一名文学评论家的程度，而我的退步也没有使我幻想自己已经成了一名文学评论家。
我 曾认为，一位伟大学者和高雅诗人写出这些话来未免可悲。过了几个星期，我在餐厅见他就在我身旁时，便大胆地跟他说了自己的想法。我问他，他的意思是否真的 希望人们非常认真地对待他说的话。我还问他，在他看来评论家与学者及诗人的生活是否可以相提并论。整个晚餐时间我们都在争论这些问题。我认为最终他还是赞 成了我的看法。看来对这样一个不再反驳我的人，我没必要宣扬我所获得的胜辩。但是最后，他对第一个问题的回答是“也许不完全是”，而对第二个问题的回答则 是“大概不是”。

对豪斯曼的感觉或许尚有令人怀疑之处，而且我也并不希望宣称他是站在我这边了。然而作为科学家的感觉是毋庸置 疑的，我有着完全一致的感觉。假如那时我发现自己正在写的不是数学，而是“有关”数学的什么东西，那就是在声明弱点，为此我理所当然地会受到更年轻、更富 有朝气的数学家的蔑视。现在我写书来谈论“关于”数学的问题，是因为我也和其他的年过六十岁的数学家一样，不再有新思想，也不再有精力和耐心来继续有效地 进行自己的专业工作。

§2

我建议对数学进行辩解。也许有人会跟我说这根本没必要，因为，不论原因如 何，目前还没有哪一种学科被公认为比数学更有用、更值得称颂的。这或许是真实的。实际上，由于有了爱因斯坦的惊人成就，星体天文学与原子物理学可能已成为 普遍高度评价的科学。数学家现在不必认为自己在自卫，因为他不会遭到像布拉德雷(Bradley)在他的值得钦佩的形而?

学辩护词中所描绘的那种对抗的处境，那次卓有成效的捍卫使一部介绍形而上学的书《现象与实在》(Appearence Reality)得以完成。

布 拉德雷说，有人会对一个形而上学家说，形而上学知识整体而言是不可能的；即使在某种程度上是可能的，实际上它也决不是名副其实的知识。形而上学家还会听人 说：“同样的问题，同样的争论，同样的彻底失败。为什么还不放弃这种知识？难道再也没有别的事值得你付出劳动丁吗？”没有人会愚蠢到用同样语言讨论数学问 题。数学的大部分真理都是显而易见的；数学的实际运用，如在桥梁、蒸汽机和发电机等正冲击着人们迟钝的想象。没有必要说服公众让他们相信数学是有用的。

这一切都以其独特的方式让数学家感到欣慰，而真正的数学家几乎不可能对此感到满足。任何一个真正的数学家一定会体会到，数学的真正 美名并不是基于这些粗略的成就，数学之所以享有普遍的美名很大程度上是基于无知与混乱，因此，仍有必要对它进行更合理的辩解。不管如何，我有意来试试。我 想这种辩解比起布拉德雷的艰难的辩白来，任务该会简单些。

接着我要问：“数学为什么值得人们进行认真的研究？一个数学家用一生 的时间从事这些工作的充足理由是什么？”像人们希望一个数学家所回答的那样，在多数情况下，我会这么回答：我认为数学研究值得做，而且以数学家为职业的理 由是充分的。但是同时我也要说：我对数学的辩护也是为我自己辩护。我的辩解在一定程度上是利己的。因为假如我真的把自己看作是一名失败的数学家，我就不认 为对自己所研究的学科进行辩解是件值得做的事了。

在辩护中带着某种程度的利己主义的态度是难免的，我想，对这一点是用不着辩解 的。我认为“谦卑”的人做不出优秀的工作。比方说，在任何一个学科里，教授的首要职责之一就是对自己这一学科的重要性以及自己本人在这一学科的重要性进行 一点夸大。假如一个人总在问自己：“我所做的事是值得做的吗？”以及“我做这个合适吗？”这都会使自己永远无能而且也让别人泄气。这种人该把眼睛闭上一会 儿，更多地考虑自己的学科和自己本人的情况，而不是更多地考虑学科与自己所应得的报酬。这不太困难，因为更加困难的是依靠紧闭眼睛来使自己的学科与自己本 人不受他人所嘲笑。



§3

一个人在开始为自己的生活和活动的合理性进行辩解时，必须要认清两个问题。 第一是他所做的工作是否值得做；第二则是他为什么要做这一工作，而并不在乎其价值。第一个问题常常很难且答案让人失望。而大多数人会觉得回答第二个问题却 是十分容易的。如果这些人是诚实的话，他们通常会采取两种形式中的一种。第二种形式仅仅是第一种形式的更简略的变形。而第一种形式是我们需要考虑的惟一形 式。

我之所以做我的事，因为这事是，而且是惟一的一件我完全可以做好的事。我是个律师，或者是一个股票经纪人，或者是一个职 业板球手，这都是因为我对这一特别的工作有些真正的才能。我做律师，是因为我伶牙俐齿，而且对法律之微妙感兴趣；我做股票经纪人，是因为我对股市行情的判 断迅速而准确；我做职业板球手，是因为我挥拍非同一般地好。有人说，我做个诗人或数学家也许更好，但不幸的是，我并没有才能做这样的工作。

我 并不认为大多数人能够做出上述那样的辩解，因为多数人什么工作也做不好。可是只要这种辩解说得振振有词，它就很难反驳，事实上只有少数人能进行这样的辩 解：也许只有5％或 10％的人可做得不错。而只有极少数人可做得真正好。而能做好两件事的人只有寥寥无几的了。假如一个人有真正的才能，他就应该乐于牺牲几乎所有的一切，以 充分发挥自己的才能。

约翰逊(Johnson)博士赞成这一观点，他说：当我告诉他，我看过约翰逊(与他同名的人)骑在三匹马上，他说：“先生，这样的人应得到鼓励，因为他的表演显示了人类的能力限度……”

同 样地，他会赞扬登山者，海 泅渡者，闭目下棋者。至于我的?法，我也是将这些能力统统视为非常不一般的成绩。我甚至还称道魔术家和口技者；当阿廖欣(Alekhine)和布拉德曼 (Bradman)在决定破记录时，假如他们失败了，我会极为失望的。在这种情况下，约翰逊博士同我与公众的感觉是一样的。正像W·J·特纳 (Turner)曾说过的一句实话那样：只有那些自以为“博学”的人(令人产生不悦之感之称谓)，才不去赞扬“真正的名家”。

当 然我们不能不考虑到以上两种工作之间价值上的不同。我宁愿做一个小说家或画家，而不愿成为政治家或诸如此类的人物。事实上，尽管有很多成名之路，但我们大 部分人会因其甚为有害而宁可拒绝走这样的路。但是这种价值的不同，很少会改变一个人的择业范围，因为这种职业的选择是受着人们生就的能力限度的制约的。诗 集比板球更有价值，但假如布拉德曼放弃板球去写二流小诗(我想，他不大可能会写得更好)的话，他一定是个傻瓜。假如他的板球打得并不那么超众，而诗歌却还 写得好些，那么对他来说选择就更加困难了。我不知道自己是成为特朗普尔(Trumper)①还是布鲁克(Brooke)②。值得庆幸的是像这种左右为难的 情况很少出现。

我还想补充说一点，他们特别不可能指望自己成为数学家。人们常常过分夸大数学家与其他人的思维过程的不同。但不 容否认的是，对一个数学家来说，他的天赋是他诸多特殊才能中的一方面。数学家们作为一个阶层，并不因一般的能力和多才多艺 而格外超群出众。假如一个人成为任何意义上的真正的数学家，那么，可以说他的数学百分之九十九会比他能做的任何其他事都好得多。而假如他为了做其他领域的 普通工作，而放弃了任何一次发挥自己才能的适宜的机会，那么他就是愚蠢的。这样的牺牲，只有在经济需要或年龄条件变化的情况下才是情有可原的。

§4

在这里，我最好还是谈谈年龄问题，这是因为对数学家来说，年龄问题格外重要。数学家们都不应该忘记这一点：比起其他技艺或科学，数学更是年轻人的工作。举一个相对低微阶层的例子来作个浅显的说明：皇家学会的人选者的平均年龄以数学家为最小。

当然，我们还会找到比这更有力的实例。比如，我们可以考察作为世界最著名的三大数学家之一的牛顿的经历。牛顿是在 50岁时放弃数学的。其实，在这之前很久他就已经对数学失去了热情。40岁时，他已毫不怀疑地认识到他的富有创新精神的时期已经过去了。他所有的最伟大的 思想，包括流数术和万有引力原理是他在1666年建立的学说，而当时他只有24岁。正如他曾叙述的：“在那些日子里，我处于富有创造力的最初期，那时比以 后的任何时期都更加一心一意地把数学和哲学挂在心上。”在 40岁以前他有过不少重大发现(“椭圆形天体运行轨道”就是他在37岁时发现的)。而其后，他再没有作出过什么发现，而只是对原有的论文做些润色工作，使 之完美化而已。

伽罗瓦21岁去世，阿贝尔27岁去世，拉曼纽扬33岁去世，黎曼40岁去世。也有些人确实是在较晚时取得伟大成 就的，高斯就是在55岁时才发表了他的微分几何学的重要论文(但在十年前他就已经形成了他的基本思想)。我还不知道有哪一个重要的数学进展是由一个年过半 百的人创始的。假如一个年长的人对数学不感兴趣而放弃了它，这种损失不论对数学本身还是他本人来说，都不十分严重。

另一方面， 如果这样的人不放弃数学，那么所获得的利益也并不可能更富有实质性的意义。有关一些数学家放弃数学以后的情况记录都不特别令人欣慰。牛顿成了一个能干的造 币厂主 (这时他没与任何人吵架)。班乐卫(Painleve)是个不成功的法国总理。拉普拉斯(Laplace)的政治生涯却是极不光彩的，他的情况几乎算不上 是一个合适的实例，因为他在政治生涯中的坏名声不是他的无能，而是因为他不诚实所造成的，而且他也向来没真正地“放弃”数学。的确很难找到一例事实来说明 一个放弃了数学研究的一流的数学家却又在别的什么学科领域里取得了一流成就――帕斯加(Pascal)看来是最好的一例。也许会有这样一些年轻人，放弃了 数学研究之后又东山再起成为一流数学家了，可惜我还从未听说过这样的真正可信的实例。而上述一切，全都产生于我的十分有限的经历。我所认识的每个有真才实 学的年轻数学家都是潜心于数学研究的，他们忠诚于数学研究，也不乏雄心壮志，只是缺少充实的数学知识；他们已全部认识到：假如有什么通往能带来任何殊荣的 人生之路的话，这条路就是数学研究之路。

§5

另外还有一种形式的回答，即我所称之为标准辩解的“低调变辞”。我可能会只用几句话来简略表述它。

“没 什么事我可以做得格外地好。我之所以做我的事，是因为它进入了我的生活之路，我的确从来未有机会做别的什么事”。我也把这一辩解看作是重要的辩解而接受。 确实，大多数人什么事也做不好。因此，他们选择什么职业也无关紧要。这确实没什么更多好说的。这是个最终的明确回答，但这几乎不可能是一个具有自尊心的人 所作的回答；我想象得出我们没有一个人会对这样的回答感到满意。

§6

现在应该考虑在§3我所谈到的问题了。这个问题比第二个问题难得多。数学，即我和其他的数学家所认为的数学这一学科，是否值得研究？假如值得，理由是什么？

我一直在回顾着我的一篇讲稿的头几页(那是我于1920年在牛津大学就职时的首次演讲)。在那几页中我写到了有关对数学进行辩解的要点。这种辩解是不够 的(只写了不足两页纸)，而且其文体风格现在看来并不使我感到特别自豪(我想，这可能是我用当时想象为“牛津”风格写成的第一篇论文)。但是我仍然觉得， 不论它需要怎样改进，它还是包含了问题的实质。这里我愿重新把原来说过的话拿来作为全面讨论的前言。

(1)首先我要强调数学的“无害性”。也就是说，“即使数学研究无利可图，但它也绝对是无害而清白的职业”。我坚持这一点，当然它需要大量的扩展和解释。

数 学真的是无利可图吗？显然，在某种意义上并非如此。比如，它为不少的人带来了很大的快乐。然而我是从更狭隘的意义上来考虑所谓“利益”的。数学是否有用， 是否像化学和生理学等其他科学那样有直截了当的用途？这并不是一个容易回答或无可争议的问题。尽管有一些数学家和大多数外行会毫无疑问地作出肯定的回答， 但我最终的回答还会是否定的。那么数学是“无害”的吗？对此，回答也是不确定的。在某种意义上我宁可回避这个问题。其理由是它提出了科学对战争的影响问 题。例如，化学在这方面显然是有害的，那么是否可以说数学在同样的意义上是“无害”的？以后我一定回头再来谈这两个问题。

(2) 当时我还接着说“宇宙的范围很大，所以，如果我们在浪费着自己的时间，那么浪费大学里几位名家、教授的生命决不会带来了不起的大灾大难”。这里我或许像是 要采取或故意装出虚伪的谦卑态度，而这种态度是我刚刚所反对的。我确信，这种态度并不是我真正意愿中的态度，我是企图用一句话把我在§3里所谈的冗长的内 容概括出来。我在想，我们这些名家、教授确实没有多少才能，而我们应尽可能地充分发挥运用这些才能才是。

(3)最后(以一些 对我来说如今读起来仍感夸张的修辞)，我强调了数学成就的持久性―即使 我们所做的工作也许很少，但都有着某种持久性的特点；我们所完成的任何事 情，无论是一本诗集还是一条几何定理，只要能引起哪怕是最微小的但却是永久的兴趣，也就意味着已经做出了完全超出大部分人的能力的事情。

我还写道――在古代与现代研究有冲突的今天，对于某一门研究来说，一定存在某些值得一谈的东西，而这种研究并非始于毕达哥拉斯，也不会止于爱因斯坦，但它却是所有研究学科中最古老的，也是最早轻的。

所有这一切都是“言过其实”的，但在我看来，其实质仍包含着真理，对此，我可以马上进行扩展，同时又不致过早涉及我所留下的其他没有回答的问题。

§7

我会设想我是在为那些现在和过去都满怀雄心壮志的人写这本书的。一个人的首要任务，进一步说，一个年轻人的首要任务是能显示雄心壮志。雄心是一种可以合 情合理地以许多形式表现出的一种宏大高尚的志向。阿提拉(Attila)和拿破仑的野心中就有某种高尚的志向，但最高尚的雄心壮志是在自己身后留下某种永 存的价值――

这平坦的沙滩上，
海洋与大地间，
我该建起或写些什么，
来阻止夜幕的降临？
告诉我神秘的字符，
去喝退那汹涌的波涛，
告诉我时间党 潜ぃ?
去规划那更久的白昼。

雄 心是世上几乎所有最佳工作成果的驱动力。特别要指出的是：实际上，一切为人类谋幸福的重大贡献都是由具有雄心壮志的人所作出的。举两个著名的例子吧，利斯 特(Lister)和巴斯德(Pasteur)不就是这样的有雄心壮志的人吗？还有，不像以上两位那么显赫的另外几位，吉勒特(Gillette)和威利 特 (Willett)，近期有谁比得上他俩对人类所作的贡献呢？

生理学为我们提供的实例特别适宜，原因就在于这门学科对于人 类所具有的益处是如此显然。我们必须提防一种在科学辩解者中所常见的谬论，那就是认为从事着对人类有益的工作的人，在做这项工作时一直想着自己的工作对人 类有益。比方说，生理学家有着特别高尚的精神。事实上，一个生理学家可能确实乐意记得他的工作是为人类造福的，但是使之产生力量，受到鼓舞去做这项工作的 动机与那些一流学者与数学家进行研究工作时的动机是没什么区别的。

有很多高尚的动机驱使人们进行某项研究。在这些动机中，最为重要的有三种。首先(因此必一事无成)是理智的好奇心，也就是对了解真理的渴望。其次是对自己专业工作的自豪?

， 只有工作才能使自己得以满足的那种渴望。任何自尊的数学家，当他的工作与其才能不相称时，耻辱感会压倒一切。最后一个就是雄心壮志，期望得到名声、地位甚 至随之而来的权力和金钱。当你的工作为他人造了福，又解脱了别人的痛苦时，你可能会自我感觉良好，但这不会是你为什么做那个工作的原因。所以，假如一个数 学家，或者一个化学家，或者甚至是一个生理学家真的对我说他的工作的动力是缘于要为人类造福的愿望，我不会相信他 (假使我真的相信他也并不会认为他真的有什么了不起)。在他的动机中居支配地位的就是我已叙述过的。而且可以肯定，任何一个体面的人都没有必要为有这些动 机而感到耻辱。

§8

假如理智的好奇心、对专业工作的自豪感和雄心壮志是在研究工作中占支配地位的动 机的话，那么，毫无疑问，没有哪个人比一个数学家有更好的机会来满足这些条件了。数学家的研究学科是所有学科中最令人好奇的。没有哪门学科中的真理会像数 学那样奇异。数学是最精细与最富有魅力的技艺，而且数学研究提供了展示真正的专业技能的机会。最后我还要说的是，正如历史所充分证明的那样，不论数学内在 的本质价值何在，其成就是一切成就中最持久的。

我们可以从半古文明中看到这一点。巴比伦和亚述的文明已毁灭，汉谟拉比 (Hammurabi)、萨尔贡(Sargon)和尼布甲尼撒 (Nebuchadnezzar)也都空有其名了，但巴比伦数学依然令人感兴趣。巴比伦的60进制仍用于天文学中。当然希腊的情况是更有说服力的例证。

对我们来说希腊人是最早而且至今仍是“真正的”数学家。东方的数学可能是满足兴趣和好奇，而古希腊的数学则是实实在在的。希腊人率 先使用了能被现代数学家所理解的数学语言。正如利特伍德曾对我说过的，希腊数学家们在校时并不是聪明的乖学生，也不是“奖学金的候选人”，而是“另一所学 院的研究员”。因而希腊数学是“不朽的”，甚至比希腊的文学还要持久。当爱斯奇里斯(Aeschylus)被遗忘时，阿基米德仍将为人们铭记，因为语言文 字会消亡，而数学的思想却永不会死亡。“不朽”这个词可能不太高明，不过也许数学家与它的含义最投缘了。

数学家不必因将来会对 其不公而煞有介事地忧心仲忡。不朽通常很荒唐，也很残酷：我们中很少有人愿意选择做奥格 (Og)③、安厄尼厄斯(Ananias)④、加利奥(Gallio)⑤。甚至于在数学界，历史有时也会开奇怪的玩笑：罗尔(Rolle)在初等微积分学 教科书中很有名气.倒好像罗尔是位与牛顿齐名的数学家；法里(Farey)弄不懂14年前由哈罗斯(Haros)论证得天衣无缝的定理，然而他却永垂不 朽；五位可敬的挪威人的名字至今仍长存于阿贝尔的《生活》一书中，仅仅是因为一种对他们国家最伟大的人物造成了伤害的愚蠢的尽职行为。不过，就总体而言， 科学史还是公平的，数学史尤其如此。没有任何其他学科像数学那样形成了清楚而一致的评判标准。为人们所铭记的数学家中绝大多数足名剐其实的。如果能用现钞 评估的话，数学的名誉将是最稳定义最可靠的投资。

§9

所有这些都使大学教师们深感宽慰，对数学教授们来说更足如此。律师、政客、商人们有时声称，学术生涯大多为那些谨小慎微、胸无大志的人所从事，这些人在乎的主要是舒适和稳定，这种责备毫无道理。大学教师们舍弃了许多东西，特别是舍弃了赚大钱的机会――
一 个教授一年很难挣上2000英镑；工作的稳定性自然是决定舍弃赚大钱机会的因素之一，但这并不是豪斯曼不愿成为西蒙(Simon)爵士或比 布冉克(Beaverbrook)贵族的原因。豪斯曼拒绝些职业是因为他理想远大，是因为他不屑于成为一个20年后就被人遗忘的人。

然 而，牺牲所有这些利益，一个人会感到多么痛苦。我仍记得伯特兰·罗素(Bertrand Russell)曾对我讲述过一个骇人的梦；他正在大学图书馆的最高一层，一个图书管理员正在书架间走来走去，提着一个巨大无比的桶，把书一本又一本地拿 下，扫一眼，然后重新放回书架，或是丢进桶里。最后他发现了三卷书，辨认出是《数学原理》最后残存的复印本。他拿下其中一卷，翻了几页，似乎被那些怪异的 符号迷惑了片刻，然后合上书，在自己手上掂掂，迟疑不决……

§ 10

数学家，就像画家、诗人一样， 都是模式的创制者。要说数学家的模式比画家、诗人的模式更长久，那是因为数学家的模式由思想组成，而画家以形状和色彩创制模式，诗人则以言语和文字造型。 一幅画或许蕴含着某种“意境”，但通常是平凡而无关紧要的；比较之下，诗意要重要得多，不过，像豪斯曼坚持认为的那样，人们习以为常地夸大了诗意的重要 性。他说：“我难以确信存在诗意之类的东西……诗歌并不在于表述了什么，而在于怎样表述。”

倾江海之水，
洗不净帝王身上的膏香御气。

还能有比这更好的诗句吗？但就诗意而言，还能有比这更平庸、荒唐的吗？意境的贫乏似乎并不影响言辞这种模式的优美，另一方面，数学家除了思想之外别无他物，因而数学家的模式更能持久，因为思想不会像语言那样快地变成陈词滥调。

正 像画家和诗人的模式一样，数学家的模式也必须是优美的；正像色彩和文字一样，数学家的思想也必须和谐一致。优美是第一关：丑陋的数学在世上无永存之地。此 处我不得不提到一个错误的概念，一个至今仍广泛传播的概念(尽管比 20年前情况要好些)，这就是怀特海德所称的“书呆子”，即热爱数学，并欣赏数学美，这是“每代人中只局限于几个怪人的偏执狂”。

如 今很难找到一个对数学的美学魅力无动于衷的知识分子了。可能很难定义数学的美，但任何一种美都是如此――我们也许不甚明了所谓一首诗歌的优美，但这并不妨 碍我们在阅读中鉴赏。霍格本(Hogben)教授极力贬低数学美，但即便是他也不敢冒然否认数学美这一事实。“毫无疑问，数学对于某些人有一种淡然的非自 然的吸引力……这种数学中的美学魅力对于这些寥寥无几的人来说，很可能是真实的。”不过，他同样指出，这些人是“寥寥无几”的，而且他们感到“淡然”(他 们的确相当可笑，在小小的所谓大学城里住着，避开广阔的部空间的清新的微风)，在这些话中，霍格本此话只不过在附和怀特海所称的“书呆子”了。

然 而事实却是：没有比数学更为普及的学科了。所有的人都有一些数学鉴赏力，正如所有的人都能欣赏一首悦耳的曲调；对数学真正感兴趣的人很可能比对音乐感兴趣 的要多。表面看来可能与此相反，但解释起来毫不费劲。音乐可以刺激大众的感情，而数学无能为力；不懂音乐只是有些掉面子，而所有的人都如此害怕数学这个名 称，以至于每个人都由衷地强调自己没有数学细胞。

一个小小的反驳就足以揭示“书呆子”的荒谬。每一个文明国度都有成千上万的棋 手(俄国，这部分人是受教育群体的全部)；每个棋手都能品味、欣赏一场棋赛或一个棋类布局.然而，一个布局问题简而言之就是一次纯数学的练习(整场比赛可 能不是，因为心理也会起作)，每一个赞叹棋类布局的人，实际上是在为数学的美而喝彩，尽管这种优美相比而言是较低档次的。棋类布局问题是数学的赞美曲。

再降低一点，不过面向更广泛的大众，我们可以从桥牌，或更低一些，从通俗报刊上的智力游戏中学到同样的内容，几乎所有这类游戏的空前流行，都归功于基础数学的吸引力。
优秀的智力游戏创制者，像杜德尼(Dudeney)和卡里班(Caliban)所用的技巧除此之外别无其他。他们清楚自己的业务，公众需要的无非是小小的智力“刺激”，别的任何东西都没有数学那样的刺激性。

还 要补充一点，世上没有什么事情比发现或再发现一条真正的数学定理更能使知名人士(和那些轻视数学的人)快乐得多。H·斯潘塞在他的自传中重新发表了一条他 20岁时证明了有关圆方面的定理(他却不知道柏拉图在2000多年前就已论证了该定理)，索迪(Soddy)教授 是新近更惊人的例子(不过他的定理倒真正是他自己的)。⑥

①特朗普尔；澳大利亚板球运动员。
②布鲁克：英国诗人。
③奥格：《圣经》中的Bashan之子，在位六十余年。
④安厄尼厄斯：《圣经》中人物。
⑤加利奥：罗马官员，政治家，哲学家，作家塞内加的长兄。
⑥见他关于六球链(Hexlet)的通信，《自然》，137~139卷，(1936~1937年)。


§ 11

尽 管棋类布局问题是真正的数学，但一定程度上它仅是“琐碎”的数学，尽管棋类布局充满机智，复杂诱人，尽管棋的走步富有创意，又出人意料，但它还是缺少了某 些必要的东西。棋类布局问题无足轻重，最好的数学不仅仅优美，而且严肃――或者说“重要”，不过这个词有些模棱两可，而“严肃”恰巧更好地表达了我想指明 的东西。

我并未考虑到数学的“实用”效果，稍后我将回到这一论题。目前，我只想说，从粗俗的意味上讲，棋类布局问题“毫无用 处”，同样地，大多数最好的数学也是如此；数学极少有实用价值，而这实用的极少数，相对来讲还较乏味。数学定理的严肃性不在于其通常微不足道的实用效果， 而在于它涉及的数学概念的意义。可以粗略地说，如果一数学概念同大量形形色色的其他数学概念有一种自然而鲜明的联系，那么这种数学概念便是有意义的，这 样，一条严肃的数学定理，即一条与有意义的概念相联系的定 理，很可能引发数学本身甚至其他学科的大步前进。没有一个棋类布局问题能影响科学思想的普遍发展；毕达哥拉斯、牛顿、爱因斯坦都改变了各自所处时代的整个 科学的前进方向。

当然，一个定理的严肃性并不在于其后果，后果不过是其“严肃性”的证据。莎士比亚对英语语言的发展产生了巨大 的影响，而奥特维(Otway)的影响几近于无，但这并不能说明?什么莎士比亚是比奥特维更好的诗人。莎士比亚更好，是因为他写下了更多更好的诗篇。就像 奥特维的诗劣于莎士比亚的诗一样，棋类布局问题地位较数学低，不是因为其后果，而在于其内容。

还有一点我稍后将阐明。倒不是因 为这点没有趣味，而是因为它较难，也因为讨论美学的严肃性我还不够格。数学定理的美很大程度上依赖于其严肃性，而诗句的优美在某种程度上还依赖于诗歌所含 思想的重要性。上文中我曾摘引了莎翁的两行诗来例证词语格律的纯粹的优美；不过下面这一行可能更优美：结束了生命的热浪，他安然地进入梦乡。

格调完美，主题明确，音调铿锵，因而我们的情感被更深地激荡了。既然在诗歌中，意境对造型的确至关重要。自然地，数学更是如此，这个问题不再详究。

§12

行 文至此，要想再有所进展，我就必须提供为每个数学家公认为第一流的“真正的”数学定理的例证，然而此处，我却因我写的东西产生的种种约束被缚住了手脚。一 方面，例子必须非常简单，没有专门数学知识的读者也能读懂，无需预先解释，读者就能跟得上清楚的阐述，跟上例子。这些限制就排除了数学中许多最优美的定 理，像费马(Fermat)的“二平方”定理或二次互反律。另一方面，我的例证必须来源于“纯正”的数学，也就是专职数学家所从事的数学，这一限制又排除 了大量的相对易于理解的定理，因为这些易于理解的定理虽易懂，却与逻辑和数学哲学相涉。

别无选择，我只得又回到希腊数学，这里 我将阐述并证明两条著名的希腊数学定理。这两条定理从思想到运算都很简单，同时，毫无疑问，又是最高层次的。每一条定理都如同刚发现之日一样清新，一样举 足轻重――2000年来它们一直保持着青春。再次，稍有理解力的读者可以在一小时之内掌握全部的论述和证明。

1．其中第一个是欧几里得(Euclid)⑦关于存在无限多个素数的证明。素数，或称质数是指下列数字：

2，3，5，7，l1，13，17，19，23，29… (A)

这些数字不能再分解为更小因子的整数，如37和317是素数。所有整数都由素数相乘而得，

666＝2×3×3×37

任何一个本身不是素数的数(非质数)至少可以被一个素数 (通常可被分解为几个素数) 整除。要证明素数无穷尽，也就是要证明数列(A)无穷。
先假设(A)是有限的，且
2，3，5…P

是全部素数的序列(P是最大的素数)；在这一假设下，让我们来考察数Q，Q定义为
Q＝(2×3×5×…×P)+l
显然Q不能被2，3，5，…P中的任何数整除，因为相除时余数为 1。由于不是素数的数总能被某一素数整除，而Q不能被任一素数整除，所以Q是素数。因而，总有一个素数(可能就是Q)任一素数大，这与P是最大的素数的假 设相矛盾，因此原假设不成立，即没有比P更大的素数的假设不成立。

这种证明方法称为归谬法，这一为欧几里得甚爱的归谬法⑧，是数学家们最好的武器之一。这一着比象棋中开局舍子的任何一种着数高明得多：棋手或许会牺牲一卒或一个棋子，
而数学家舍掉的是整局。

§13

2. 第二个例子是毕达哥拉斯⑨关于 根2 (√2) 的“无理性”的证明。

“有理数”是一个分数a/b，其中a、b均为整数。我们假定a和b没有公因子，如果有的话，我们可以把它消掉。根2 是“无理数”，也可以表述为“2不能以(a/b)平方的形式表示”，也就是说，方程
a2 = 2b2 (B)
不能被两个没有公因子的整数a、b所满足。这是一个纯算术运算定理，无需任何“无理数”方面的知识，也不依赖于有关无理数性质的任何理论。

再用归谬法来证明。先假设上式(B)成立，a和b是没有公因子的整数。根据(B)式，a方应是偶数(因为2b方能被2整除)，因此a也是偶数(因为奇数的平方是奇数)。如果a是偶数，那么

a = 2c (C)

其中c为整数，因此有

2b2 = a2 = (2c)2 = 4c2
即
b2 = 2c2
因此b方是偶数，b也是偶数(理由同上)。这就是说，a和b都是偶数，因此有公因子2，这与假设矛盾，所以假设不成立。

从毕达哥拉斯的定理可推出正方形的对角线与边长不可通约(也就是说对角线与边之比不是有理数，或者说，没有一个公共的单位，使对角线和边长可同为其整数倍)。若以边长作为长度单位，对角线的长度没为d，则由毕达哥拉斯的勾股定理⑩

d2 = 12 + 12 = 2

故d不是有理数。

还 可以从任何人都能理解其含义的数学理论中引用许多精彩的定理。例如一个所谓“算术基本定理”：任一整数都可以惟一方式分解为素数的乘积，名副其实。如 666＝2×3×3×37，此外没有别的分解方式了：666不可能等于2×11×29，或者等于 l3×89，或等于17×73(不用相乘其结果也显而易见)。这一定理是高等算术的基础，证明过程虽不困难，却需要一定的功底，而且非职业数学家读起来可 能会感到乏味。
另一著名的优美的定理是费马的“二平方”定理。素数(特殊素数2除外)可以归为两组数.一组为

5，13，17，29，37，41…

这些数被4相除时余数为1；另一组为

3，7，11，19，23，31…

这些数被4相除时余数为3。

任一属于第一组的素数都可表示成两个整数的平方和。如

5 = 12 + 22 13 = 22 + 32
17 = 12 + 2 29 = 22 + 52

而3，7，11，19都不能表示成如上形式(读者可自己检验)，这就是费马定理，非常公正地被视为最完美的定理之一。可惜，没有相当专业数学知识的人难以理解其论证过程。

“集 合论”中也有许多优美的定理，像康托(Cantor)的连续的“不可数”定理。这里的困难是相反的，只要掌握了所使用的语言，证明并不困难，但必须进行适 当的解释，才能把这条定理的意思弄明白。不必再赘述更多的例子了，上文给出的例子是些测试，对上述例子不能理解的读者很可能难以欣赏任何数学的东西。

我 认为数学家是概念的造型者，美和严肃是评价其造型的标准。难以相信，能理解上述两个定理的人会否认它们符合美与严肃的标准。拿上述例子与杜德尼最机智的智 力游戏或与象棋大师们编排出的最妙的棋类布局问题相比，本文例子在美与严肃两方面的优势是一目了然的：毋庸只置疑，其间有层次的差别――它们更加严肃，也 更加美丽。我们能否更准确地说明它们的优势所在吗？

§ 14

首先，这两个数学定理在严肃性方面的优 势是显而易见、绝对的。象棋布局问题是把一些想法巧妙但很有限度地交织而成的结果，它们在根本上差别不大，而且对外几乎没有任何影响：即使象棋没有发明， 我们也会产生同样的思想方法。而欧几里德和毕达哥拉斯的定理影响很大，甚至在数学之外，也对人们的思想产生了深刻的影响。

欧几里德定理对算术的整个结构都至关重要。素数是算术组成的原料；欧氏定理确保了这种原料的充足性，但毕氏定理有更广泛的运用，它也提供了更好的课题。

首 先，我们应看到毕达哥拉斯的论证有深远的扩展性，可以在不作原则性改变的基础上适用于“无理数”的范畴。我们可以用类似泰特托斯(Theaetetus) 的方法证明 根3，根5，根7，根11，根13，根17是无理数，或者超过他的方法证明 4根3 和 4根7是无理数㈠。

欧氏定理告诉我们，有足够多的材料对整数构造一个条理分明的算术体系。毕氏定理及其扩展则告诉我们，即使我们构造出这种算术体系，也不能满足我们的需要，还会有许许多多的量要我们考虑，而这些量是整数的算术无法度量的，最明显的例子就是正方形的对角线
。 这个发现的极端重要性立刻被希腊数学家注意到了，他们起初假设(我猜想是按惯例)同种类的量都是可以公度的，例如任何两个长度都是某一共同单位的倍数。他 们由此建立了一个基于此种假设基础上的比例理论。毕氏的发现暴露这个理论基础的薄弱性，从而使欧多克斯(Eudoxus)建立了更深刻的理论。这个理论在 《原本》的第五章中有详细叙述，被许多现代数学家誉为希腊数学的最优秀成就。这个理论在数学思维上是很前沿的，可以称作无理数理论的先河，它导致了数学分 析的革命，对近代哲学也有很大影响。

两个定理的“严肃性”是毫无疑问的。所以值得一提的是二者都不具实用性。在实际运用中我们只会用到相对小的数，只有天文学和量子物理涉及到大数。它们即使与最抽象的纯粹数学相比，实用性也大不了多少。我不知道工程师通常要求的最高精度是多少，10位数恐怕会太高。那么

3．14159265(π值保留8位小数)是两数之比，即

(314 159 265) / (100 000 000)

也 才9位数。小于1 000 000 000的素数有50 847 478个，这对工程师来说也太多了，即使不要其他素数，他也满足了。欧氏定理先谈到这里。而就毕氏的理论来说，我们都知道，显然工程师们对无理数不感兴 趣，因为他们工作中只涉及近似值，而所有的近似值都是有理数。


§15

一个“严 肃”的定理是一个包含着“有意义的”概念的定理，因此我有必要进一步分析一下数学概念有意义的特性。这项工作有些难度，而且很难说我作的分析有价值。当目 睹一个“有意义的”概念时，我们是一眼能识别的，就像看我的那两个标准定理中的“有意义的”概念一样。但具备这种识别能力需高深的数学知识和长期从事数学 研究工作的经验。因此我必须尝试一些数学分析，也应该有可能发掘一些具有说服力的成果。至少有两个特性是至关重要的，即一定的“普遍性”和一定的“深刻 性”。但何为“普遍”、何为“深刻”还不能明确给出解释。

一个有意义的数学概念，一条严肃的数学定理从下述意义上被认为是 “普遍的”。数学概念应该是许多数学构造的要素，应能应用于许多不同种定理的证明。这种定理即使一开始是以相当特殊的形式提出(如毕氏定理)，它也应能被 广泛地扩展，成为与其同类型定理的典型。证明中所揭示的关系本来应该联系着许多不同的数学概念。所有这一切都还比较模糊，存在许多疑点。但显而易见的是， 如果一个定理明显缺乏这些特征，这个定理就不可能是严肃的。为说明我的观点，我只需从浩瀚的代数海洋中抽取几例。下面是从劳斯·鲍尔的《数学游戏》 (Mathematical Recreations)㈡摘取的两例。

(a)只有8712和9801是能表示成它们的“反置数”的整数倍的四位数。

8712＝4×2178， 9801＝9×l089

小于10000的其他数不具有这个性质。

(b)大于1的数中只有四个数等于它们组成数字的立方和，这四个数是153、370、37l、4
07。

153 = 13 + 53 + 33 370 = 33 + 73 + 03
371 = 33 + 73 + 13 407 = 43 + 03 + 73

这些实例看来多少有点奇怪，也只有外行或业余爱好者对此有兴趣。对一个数学家来说，它毫无价值，它的证明既不难懂，也不有趣，只是需要花许多时间去尝试。这些定理是不严肃的，其原因之一(也许不是重要原因)是因为其表达和证据都太局限，不具有明显的普遍性。

§16

“普遍性”是一个模糊而又危险的词，我们得留心不要让其占据太多的篇幅。它广泛应用于数学及有关数学的著作中。其中有一种特别的情形，它虽与我们今天的论题无关，但逻辑学家对它推崇备至。从这个意义上说，所有的数学理论都同等地和完全地是“普遍的”。

怀特海曾说：“数学的确定性取决于它完全抽象的普遍性。”㈢当我们假设2+3＝5时，就假设了一种存在于三种事物间的关系。这些事物并不是苹果或便土，或 者任何一种特定的东西，而只是“事物”，任何事物都行。这种表达式的意义完全独立于具体事物的个别性。在完全抽象意义的基础上，所有的数学“对象”、“实 在”、“关系”，如“2”，“3”，“5”，“+”，“＝”或所有包含它们的数学命题，在完全抽象的意义下都是普遍的。实际上怀特海的话未免多余，因为在 此意义上讲，普遍性就是抽象性。

普遍性的意义举足轻重，逻辑学家强调它不无道理。因为它传达的是一个真理，很多本该清楚了解它 意义的人却常常忘记。如经常有天文学家或者物理学家宣称他发现了证明物理世界必须以一种特殊方式运行的“数学证据”。所有这些言论，只从字面理解，绝对是 无稽之谈。就像不可能用数学去证明明天会发生日食一样。因为日食以及其他的物理现象并不是数学世界的组成部分。我想所有的天文学家该不会否认这一点吧？但 是另一方面他们也确实可能正确预测日食的发生。

很明显，这种“普遍性”与我们的讨论无关。我们要寻找的是存在于各种数学定理之 间的普遍性上的差别。在怀特海看来，普遍性是相同的。所以本书§15中的(a)和(b)这种小定理也和欧几里德、毕氏定理一样“抽象”和“普遍”，所以也 等同于象棋布局。对象棋来说，不管棋子什么颜色、什么形状，棋手们都不会认为有什么不同，只有外行才会考虑到与棋盘的搭配问题。棋盘和棋子只是用来刺激我 们思维的工具，与真正的下棋对奕相比，就好比黑板、粉笔之于数学课中的定理关系。

我们现在要寻找的并不是这种存在于所有数学定 理中的“普遍性”，而是在§15中提及的更晦涩难懂的那种普遍性。对此种“普遍性”也不宜强调过分(像怀特海一样的逻辑学家们倾向于这样做)。现代数学的 卓越成就并不仅仅是“普遍性的微妙的堆砌”㈣，虽然这种堆砌是现代数学的巨大成就。在任何一种高水平的定理中，都存在一定的普遍性。但如果普遍性太泛也就 会导致枯燥乏味，那就成了“每个事物都是它而不是别的”。其实事物间的区别与其共性一样使人着迷。我们选择朋友并不是因为他们具备人类的所有优点，而是因 为他们有其本身的特点。在数学中道理亦然。因此我可以毫不夸张地引用怀特海的话来证明我的观点：“被适当的特殊性所制约的广泛的普遍性，才是富有成果的概 念。”㈤

§17

一个有意义的定理必须具备的第二个特性就是“深刻性”。其概念也不易定义，它与“难 度”有关，深刻的思想往往难以掌握，但二者也并不完全一样。毕氏定理及推广所蕴含的概念有一定的深度，但现代数学家绝不会认为它难懂。相反，一个定理可能 极为肤浅，但却难以证明――如丢番图(Diophantus)的有关求方程整数解的定理。
数学理论好像分层分布，每一层的内部以及与上下层之间由错综复杂的关系网连接起来。层越往下，理论就越深，也就越难懂。因此“无理数”概念比“有理数”深，同样，毕氏定理比欧氏定理深刻。

如 果注意整数之间或者任何一特定层次上的其他一些对象集合之间的关系，就会发觉有些关系一目了然，如，不需下一层次概念的任何知识，我们就可以识别并证明整 数的性质。因此证明欧氏定理只用整数就行了。但整数有些定理是不能一眼看清的，还得通过挖掘和考虑深一层次的知识才能证明。

我们在素数理论中容易发现这种例子。欧氏定理重要但不深刻，我们不需用任何比“可除性”更深刻的概念证明素数无限。

当 取得了答案后，心中又不免萌生新的问题。素数无穷，但这种无穷的素数究竟如何分布？假定有一个很大的数N，如10的80次方 或 10的10次方的10次方 ㈥，其中有多少个小于N的素数㈦。当我们问这些问题时，就发现自己的思维处在不同的层次了。我们可以用超出想象的精确性来回答这问题，只是要深入一步，不 用整数，而用现代函数理论的最有力武器来解决。所以回答我们这个问题的定理比欧氏定理深刻得多。

例子是不胜枚举的。但“深刻性”甚至对一个能识别它的数学家来说也是不易说清的，因此我也不妄想还有什么妙语能解开读者的迷惑。

§18

在§ 11节中我对比了象棋和“真正的数”问题，其中有一点尚未涉及。如今我们想当然认为真正的数学定理就实质内容、严肃性与重要性而言，是无与伦比的。对训练 有素的天才来说，事物的“美”中也无不蕴含数学的奥妙，只是这种奥妙更难于言传。由于棋类布局问题的主要缺点就是“微不足道”，而这方面的对比交织着一些 美学上的评价，同时也使这种评价受到妨碍，在欧几里得和毕达哥拉斯的定理中我们能如何区分出“纯美学”特征呢？我不敢妄加评论，只略述一下我的观点。

在 两个定理中(当然也包括证明)，有一种高度的意外性、必然性和有机性。证明形式颇为奇怪，使用的工具与之达到的结果相比显然过于简单。但结论中没有任何疏 漏，证明中的细节也不繁琐，一行一个个步骤。许多只有专职数学家。才能理解的更难的定理，其证明也一样简明。在证明数学定理时不需要很多“情况”，因为 “列举情况”实际是数学论据的较为呆板的形式。数学证明应当如星座般清晰、明了，而不应像银河里的星束分散而模糊。

棋类布局问 题也有意外性和一定的有机性。当然至关重要的是走棋要出奇制胜，每一颗棋都应尽其用。美学的效应是累积的，出了关键一着，下一着应变化多样，且每个变化都 应有相应的反应(除非问题很简单，不是真正引人人胜)。“如果P－B5（5下标），那么Kt（t下标）－R6（6下标）；如果……那么……；如果……那 么……”，如果没有多种不同的答案?

其美中效果将会是单调、乏味的。这些都是地地道道的数学，有其自身的优点，但它仅仅是“列举证明”(而且这些情况之间并没有根本的不同)㈧，真正的数学家对此往往不屑一顾。

我 想用棋子自身的感受来加强我的论证。必庸置疑，一个象棋大师，一个重大游戏、比赛的参与者，从心理上是很鄙视用纯粹的数学知识去下棋的，他们积累了不少经 验，在紧要关头总能显露身手，“不管他怎么走，我头脑里已储存了对付的方法”。象棋首先是心理上的较量，而不仅仅是一些数学小定理的积累。